س 1: تعرف محاولات برنولي Bernoulli Trials بأنها سلسلة من المحاولات المكررة التي تتبع شروط محددة، وهي:
1- النجاح والفشل فقط كل نجاح له احتمال ثابت p وكذلك الفشل (1-p).
2- كل محاولة مستقلة عن الأخرى.
3- عدد ثابت من المحاولات n.
4- الفرصة الثابتة لحدوث النجاح p.
س 2: صيغة التوزيع الاحتمالي لتوزيع ذي الحدين هي P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k) ، حيث C(n,k) هو العدد المعروف باسم "مثلث باسكال" ويمثل عدد الطرق الممكنة لترتيب k نجاحات في n محاولة.
س 3: صيغة التوزيع الاحتمالي لتوزيع بواسون هي P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k! ، حيث λ هو معدل الحدوث الإحتمالي للحدث.
س 4:
1- احتمال إصابة الهدف مرتين على الأكثر هو P(X=2) = C(10,2) * (2/5)^2 * (3/5)^8 ≈ 0.302.
2- احتمال إصابة الهدف أكثر من مرتين هو P(X>2) = 1 - P(X≤2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)] ≈ 0.744.
س 5: التوقع لتوزيع B(20, 0.3) هو E(X) = np = 200.3 = 6 والتباين هو Var(X) = np(1-p) = 200.3*0.7 = 4.2.
س 6: يستخدم توزيع بواسون كتقريب لتوزيع ذو الحدين عندما يكون عدد المحاولات كبيراً واحتمال النجاح p صغير.
س 7:
1- احتمال عدم وجود أي قطعة معيبة هو P(X=0) = (1-0.003)^500 ≈ 0.606.
2- احتمال وجود قطعة واحدة معيبة على الأقل هو 1 - P(X=0) = 1 - 0.606 ≈ 0.394.
س 8: لاستكمال الحل نحتاج إلى المزيد من المعلومات حول الفرضية المفروضة في التحليل الإحصائي مثل مستوى الثقة المستخدم واختبار الفرضية الأولى والثانية. يمكن استخدام اختبار t لفحص هذا الادعاء.